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[Méca] Projection

le 23-02-2016 à 09:53 #
Bonjour à tous,

En refaisant un exo de mon cours de méca je suis resté bloqué sur une projection

Je vous met l'énoncé et la figure du coup car elle est assez complexe...



En gros je ne comprends pas la toute dernière ligne de l'exercice, comment l'on est censé projeter sur y0 AP pour que cela donne : rsin(alpha)sin(B)y0

Je comprends tout le reste saut ça en fait car je ne vois pas comment la projection se fait, j'ai essayé de passer par la base y1 mais AP est orthogonal a y1 du coup la projection est nulle et je ne parviens pas à voir comment on fait du coup pour projeter directement AP sur y0

J'ai du mal à projeter généralement un vecteur dans une base x,y,z comment doit t'on procéder ?

voili voila, quelqu'un pour m'éclairer un peu svp ?
merci d'avance
Re: [Méca] Projection
le 23-02-2016 à 10:14 #
Salut,

Tu exprimes x1 en function de x0, y0 et z0, et ça sort tout seul.

Je te rappèle que, pour passer d'une repère i (Oi, xi, yi, zi) au repère j (Oj, xj, yj, zj), tu exprimes :
- xi en fonction de xj,yj,zj
- yi en fonction de xj,yj,zj
- zi en fonction de xj,yj,zj
Une fois cela fait, tu peux passer n'importe quelle vecteur du repère i au repère j (et meme de repère j au repère i avec quelques simples manip)

Il y a aussi l'utilisation de matrice qui peut formaliser et automatiser tout ça.

(Modifié par Alcar le 23-02-2016 à 10:23)
Re: [Méca] Projection
le 23-02-2016 à 10:38 #
salut, merci pour ta réponse,

si j'ai bien compris ça voudrait donc dire que par exemple le repère A(x2,y2,z2) correspondrait donc à A(x2*cos(B),y2,z2*cos(B)) dans le repère A(x1,y1,z1) ?
Re: [Méca] Projection
le 23-02-2016 à 11:54 #
Nope,

On a (en se basant sur ton exo) :
x1 = cos(B)*x2 + 0*y2 + sin(B)*z2
y1 = 0*x2 + 1*y2 + 0*z2
z1 = -sin(B)*x2 + 0*y2 + cos(B)*z2

donc le repère R1(O1, x1, y1, z1) peut s'écrire (O1, cos(B)*x2 + sin(B)*z2, y2, -sin(B)*x2+cos(B)*z2)
Et le repère R2(O2, x2, y2, z2) peut s'écrire (O2, cos(B)*x1 - sin(B)*z1, y1, sin(B)*x1+cos(B)*z1) (Vu que l'inverse du rotation d'angle B est une rotation d'angle -B, seul le signe avant les sinus change)

En utilisant ce genre de truc, on a AP = 0*x2 + 0*y2 + r*z2
= 0*(cos(B)*x1 - sin(B)*z1) + 0*y1 + r*(sin(B)*x1+cos(B)*z1)
= r*(sin(B)*x1+cos(B)*z1)
ce qui correspond à ce qui est écrit sur l'énoncé

(Modifié par Alcar le 23-02-2016 à 11:55)
Re: [Méca] Projection
le 23-02-2016 à 15:20 #
ah d'accord merci je vois carrément mieux le truc maintenant grace à toi, du coup j'ai fait a peu pres pareil je suis passé de la base 1 à la base 0 et après j'ai ajouté tout le truc avec le vecteur AP et j'ai au final bien trouvé les données de l'énoncé de AP pour la base 0, mais du coup je me demandais juste, on ne pourrait pas passer directement de la base 2 à la base 0 sans passer par la base 1 ?
Re: [Méca] Projection
le 23-02-2016 à 16:16 #
La réponse est oui, mais pour obtenir cette transformation (base 2 -> base 0), c'est plus simple de combiner la transformation base 2 -> base 1 et la transformation base 1 -> base 0. Exemple :

Transformation base 2 -> base 1
x2 = cos(B)*x1 - sin(B)*z1
y2 = y1
z2 = sin(B)*x1+cos(B)*z1

Transformation base 1 -> base 0
x1 = cos(A)*x0 + sin(A)*y0
y1 = -sin(A)*x0 + cos(A)*y0
z1 = z0

Donc :
Transformation base 2 -> base 0
x2 = cos(A)*cos(B)*x0 + sin(A)*cos(B)*y0 - sin(B)*z0
y2 = -sin(A)*x0 + cos(A)*y0
z2 = cos(A)*sin(B)*x0 + sin(A)*sin(B)*y0 + cos(B)*z0
Re: [Méca] Projection
le 23-02-2016 à 16:29 #
ok merci, oui je me doute bien que c'est plus simple en combinant les bases, ça me fait mal à la tete tous ces cos et sin du coup c'est pas très grave je vais pas m'attarder sur la transformation direct de base 2 > 0

mais du coup je me demandais juste comment l'on aurait du faire si par exemple on avait disons un vecteur quelconque pour le projeter dans un repère x,y,z.

par exemple ici s'il existait un vecteur A'P' parallèle à AP et tel que A'=O, pour le projeter dans la base O,x0,y0,zo directement ?
Re: [Méca] Projection
le 23-02-2016 à 23:43 #
Fais pas attention à tout ces sin et cos Ce qui est important, c'est la structure du résultat (x2 = qqchose*x0 + qqchose*y0 + qqchose*z0, y2 = etc...) et que tu peux savoir qu'est-ce que c'est ces qqchoses.

La description d'un vecteur ne changera pas si tu le déplaces... si j'ai bien compris ta question
Re: [Méca] Projection
le 24-02-2016 à 09:49 #
ok ça marche !

nan en fait je voulais juste savoir comment généralement on projette un vecteur quelconque dans une base x,y,z par exemple comme on pourrait le faire dans un repère plan
Re: [Méca] Projection
le 24-02-2016 à 10:46 #
Oh, c'est vraiment general, ce que tu demandes. Si on parle que de bases orthonormé (donc, si on a une base x,y,z, la longeur des vecteurs de base est 1, ils sont perpendiculaire les uns des autres) et que, si tu mets le vecteur x et y sur un plan avec x allant vers la droite et y vers le haut, le vecteur z sorts du plan (donc va vers l'observateur) , toutes transformations d'une base à une autre base, peut être décrite par 3 rotations autours d'axes principaux (x,y,z) ou une rotation autours d'un axe qui peut être orienté n'importe comment.

Mais, en pratique, si, pour passer d'un repère à un autre, on te donne 5 rotations, tu décris les 5 rotations et tu les combines. Ou, si tu trouves 3 vecteurs orienté différement dont tu connais leur expressions dans les 2 bases, tu peux retrouver assez facilement la transformation.

En gros, il n'y a pas de solution miracle. Cependant, si tu connais l'axe de rotation et l'angle, il y a des formules qui te donne la transformation directe.

SI tu connais les matrices, on les trouves ici :
fr.wikipedia.org/wiki/Matrice_de_rotation#En_dimension_trois

(Modifié par Alcar le 24-02-2016 à 11:13)
Re: [Méca] Projection
le 24-02-2016 à 11:08 #
oui oui c'est général, oui dans une base orthonormée par exemple, c'était juste pour savoir si l'on ne peut pas juste projeter le vecteur quelconque qu'on a sur les axes x,y,z, pour que ça nous donne je sais pas des cos ou autre comme on l'aurait fait lorsque l'on projette un vecteur dans un plan quoi

car la je t'avoue que j'ai pas trop compris du coup l'histoire des rotations, on est obligé de changer de base à chaque fois du coup ?
Re: [Méca] Projection
le 24-02-2016 à 11:27 #
Mais, ton vecteur, il est décrit en utilisant une base (on va dire la base x0, y0 et z0) et, si tu veux projeter ce vecteur sur les axe x,y et z, il faut que x, y et z soit aussi décrit dans la base x0, y0 et z0. Et, si tu sais exprimer x,y et z en fonction de x0, y0, z0, tu as déjà ta transformation donc le plus difficile est déjà fait :

v1 = A1*x0 + B1*x0 + C1*x0 -transformation-> v1 = A2*x + B2*y + C2*z et A2,B2 et C2 sont la projections du vecteur v1 sur l'axe x,y,z.

on est obligé de changer de base à chaque fois du coup ?

Ca dépend de ce que te demande l'exercice, mais les changements de bases (bases orthonormées) dans un espace 3D ne sera que des rotations. Donc, c'est tout bénèfe d'être capable de décrire une rotation de la manière la plus automatique possible.
Re: [Méca] Projection
le 24-02-2016 à 11:49 #
d'accord mais dans ce cas comme tu as dit admettons qu'il est décrit en utilisant une base (donc x0, y0 et z0) moi je voulais juste savoir s'il y avait la possibilité qu'on le projette directement sur les axes de cette base x0, y0 et z0 et si oui comment faire, enfin je ne sais pas si ma question est très claire

(Modifié par Thomie le 24-02-2016 à 11:50)
Re: [Méca] Projection
le 24-02-2016 à 12:10 #
Ben, en exprimant un vecteur dans la base x0, y0 et z0, tu as directement la projection de ce vecteur sur les axes x0, y0 et z0 (à condition que la base x0, y0 et z0 est orthonormé). Exemple :

Le vecteur v1 = A*x0 + B*y0 + C*z0 projeté sur l'axe x0 est A*x0

(Modifié par Alcar le 24-02-2016 à 12:10)

(Modifié par Alcar le 24-02-2016 à 13:40)
Re: [Méca] Projection
le 24-02-2016 à 12:29 #
mais la dedans juste A, B et C représentent quoi alors exactement ?
Re: [Méca] Projection
le 24-02-2016 à 13:48 #
C'est ce qui exprime le vecteur dans la base x0, y0 et z0.



A mon avis, c'est mieux que tu prennes un peu de recule (laisser décanter un peu tout ça) et, après, si tu les souhaites, tu pourras reposer des questions.

(Modifié par Alcar le 24-02-2016 à 13:49)
Re: [Méca] Projection
le 24-02-2016 à 17:44 #
ahah merci mais pas le temps pour le repos là, puis de toute façon j'en ai finit avec ça j'ai tout compris grace à toi, par contre j'ai juste une autre petite question sur la suite de mon cours du coup car il y a un truc que je capte pas trop.

en fait ça parle de vecteur taux de rotation, et ça dit qu'il est égale à la vitesse instantanée multipliée par le vecteur directeur lorsqu'il y a une seule rotation du solide S par rapport à un repère R, or il me semble que dans le torseur cinématique la première colonne représente justement le taux de rotation tandis que la deuxième représente la vitesse instantannée nan ? cela voudrait donc dire qu'il existe une relation entre ces deux vecteurs ?

Re: [Méca] Projection
le 24-02-2016 à 19:37 #
la première colonne représente justement le taux de rotation tandis que la deuxième représente la vitesse instantannée nan ?

C'est juste.

cela voudrait donc dire qu'il existe une relation entre ces deux vecteurs ?

Non, la partie vitesse instantanée du torseur est la vitesse à l'origine du repère (un repère est donnée par un point est 3 vecteurs donc la vitesse instantanée, c'est la vitesse à ce point).

ça parle de vecteur taux de rotation, et ça dit qu'il est égale à la vitesse instantanée multipliée par le vecteur directeur

J'ajouterais : à condition que la vitesse à l'origine du repère est 0. D'après toi, c'est quoi le vecteur directeur ?

(Modifié par Alcar le 24-02-2016 à 19:37)
Re: [Méca] Projection
le 24-02-2016 à 21:48 #

ça parle de vecteur taux de rotation, et ça dit qu'il est égale à la vitesse instantanée multipliée par le vecteur directeur

J'ajouterais : à condition que la vitesse à l'origine du repère est 0. D'après toi, c'est quoi le vecteur directeur ?


Bah le vecteur directeur c'est celui qui porte la rotation nan ?

Mais du coup pourquoi il faudrait que la vitesse à l'origine du repère soit de 0 ?

Donc si j'ai bien compris juste au niveau de la vitesse instantanée ça voudrait donc dire que le repère ce déplace à cette vitesse au niveau du point ?
Re: [Méca] Projection
le 25-02-2016 à 11:36 #
Bah le vecteur directeur c'est celui qui porte la rotation nan ?

Je ne sais pas Je n'ai pas utilisé les mêmes mots et j'ai remarqué que j'ai mal traduit cette phrase :
ça dit qu'il est égale à la vitesse instantanée multipliée par le vecteur directeur lorsqu'il y a une seule rotation du solide S par rapport à un repère R

Donc j'ai dit n'improte quoi, désolé. Reste que les deux vecteurs se trouvant dans le torseur sont indépendant (tu prends 6 nombres aléatoirement et tu la place dans le torseur, le torseur aura toujours du sens). Donc, pour revenir à cette phrase :
ça dit qu'il est égale à la vitesse instantanée multipliée par le vecteur directeur lorsqu'il y a une seule rotation du solide S par rapport à un repère R

Je ne comprends ce que cette phrase veut dire. Cependant, le vecteur taux de rotation à une direction (axe de rotation), un sens (sens de rotation) et une longueur (vitesse de rotation). De plus, la vitesse instantanée à un point A qui se trouve à un distance D de l'axe de rotation vaut :
vitesse instantané à l'origine de référentiel + D*longueur du vecteur taux de rotation.
Re: [Méca] Projection
le 25-02-2016 à 12:18 #
Salut,

ok d'accord merci mais il s'agit donc d'un produit vectoriel dans ta formule quand tu dis D*longueur du vecteur de rotation ?

et du coup il y a juste un dernier truc que je comprends pas trop dans la suite de mon cours, en reprenant l'exemple du tout début il est dit que :



mais pour moi alpha c'était juste un angle, du coup j'ai l'impression qu'on le dérive comme s'il faisait office de vecteur position pour trouver ensuite la vitesse, mais on peut dériver un angle comme ça ?
Re: [Méca] Projection
le 26-02-2016 à 22:35 #
il s'agit donc d'un produit vectoriel dans ta formule quand tu dis D*longueur du vecteur de rotation ?

Je parlais de longueur et :

phi est l'angle entre le vecteur taux de rotation (omega) et le vecteur OA (O est l'origine du repère). D est la distance entre A et l'axe de rotation. Mais utiliser le produit vectoriel est plus automatique.

pour moi alpha c'était juste un angle, du coup j'ai l'impression qu'on le dérive comme s'il faisait office de vecteur position pour trouver ensuite la vitesse, mais on peut dériver un angle comme ça ?


Lors d'une rotation d'un point autours d'un axe, on peut décrire la position d'un point par une distance (le rayon) et un angle (qui est l'angle alpha dans ce cas là). Si ce n'est qu'une rotation, le rayon est constant, mais l'angle varie en fonction du temps (alpha(t)) donc on peut dériver cette angle pour obtenir la vitesse angulaire (alpha'(t)). En résumé, si l'angle dépend du temps, on peut le dériver.

De plus, l'unité de vecteur taux de rotation est du rad/s et, dès qu'il y a qqchose divisé par un temps, tu peux être quasiment certain qu'il y a une dérivée quelque part

(Modifié par Alcar le 26-02-2016 à 22:48)

(Modifié par Alcar le 28-02-2016 à 21:41)
Re: [Méca] Projection
le 28-02-2016 à 21:36 #
salut,

okok je vois merci, bon bah je crois que j'ai rien d'autres à demander pour l'instant,
merci encore pour ton aide et t'en fais pas je ne tarderai pas à revenir !
Re: [Méca] Projection
le 28-02-2016 à 21:41 #
Ca marche Si jamais, j'ai fait une erreur. C'était un "sin" au lieu d'un "cos" (je viens de corriger)
Re: [Méca] Projection
le 29-02-2016 à 23:51 #
salut j'espère que tu vas bien et que tu es en forme car me revoilà donc pour mon lot de questions habituelles !

déja au vu de ce qu'on disait avant pourrais tu me donner un exemple d'un vecteur taux de rotation stp ? car pour moi si on a un angle de pi/6 par exemple, en le dérivant on trouve 0 nan ? donc le vecteur taux de rotation serait tout le temps égale à 0 ?

après j'avais aussi un autre exemple qui reprenait la suite d'avant


comme tu le vois j'ai souligné les trucs que je comprenais pas trop, regarde bien on le voit pas bien mais ya des dérivés dedans.

donc le truc en rouge déja, je vois pas d'ou ça sort et pourquoi ? et après pourquoi l'on met le a et le r en facteur, on ne peut pas les dériver eux aussi ? et comment on fait pour dériver un axe d'un repère tel que x1 ou z1, apparemment ça donne 0 donc j’imagine que c'est comme si c'était un nombre quelconque ?
apres en bleu, tout d'abord comment on fait le z1^x1 ? car je me doute bien que ça donne y1 vu que c'est le produit vectoriel d'un trièdre direct toussa toussa mais je ne vois pas comment on le calcul ...
et donc pareil pour ce qui est souligné en vert, sauf que je ne vois pas du tout comment l'on est censé trouver le z1^z2

voila si tu peux juste m'éclairer sur tout cela stp !


Re: [Méca] Projection
le  1-03-2016 à 00:00 #
Resalut,

Je te répondrai demain soir

(Modifié par Alcar le 01-03-2016 à 21:08)

Ajout du 01-03-2016 à 21:32:

Me revoila. Alors, le truc important, c'est que cette espèce de bras mécanique peut bouger. Il y a :
- 2 mouvements de rotations (alpha et beta)
- 1 mouvement de translation (r)

Et, vu que ce bras va bouger, alpha, beta et r vont changer au cours du temps donc tu peux les dérivées en fonction du temps. Donc, on as :


après pourquoi l'on met le a et le r en facteur, on ne peut pas les dériver eux aussi ?

"a" reste fixe donc la dérivée de "a" vaut 0. Par contre, "r" dépend du temps donc sa dérivé peut ne pas être 0 (r(t) peut être n'importe quel fonction... y compris une fonction constante). D'ailleurs, la partie rouge apparaît parce que :


comment on fait pour dériver un axe d'un repère tel que x1 ou z1, apparemment ça donne 0 donc j’imagine que c'est comme si c'était un nombre quelconque ?

Nope, ça ne fait pas 0. C'est un peu plus compliqué que ça. Ca dépend du référentiel dans lequel tu te trouves. En faite, les vecteurs de bases sont immobile dans leur propre référentiel (donc la dérivée des vecteurs de bases dans leur propre référentiel est 0). Cependant, la transformation d'un référentiel à l'autre change avec le temps.

tout d'abord comment on fait le z1^x1 ?

Tout d'abord, vu que x1 et z1 sont perpendiculaire alors z1^x1 est perpendiculaire à x1 et à z1 donc c'est y1 ou -y1. Après, tu utilises la règle des 3 doigts ou du tir-bouchon pour voir dans quel direction tu vas. L'autre méthode, c'est juste résoudre cette équation :


Pour le z1^z2, tu exprimes z1 en fonction de beta, x2, y2, z2 est tu résouds l'équation

(Modifié par Alcar le 01-03-2016 à 21:35)
Re: [Méca] Projection
le  1-03-2016 à 23:46 #
salut, merci pour ta réponse j'ai bien fait d'attendre ça en valait la peine !

bien vu du coup merci j'avais pas pensé à prendre en compte la translation.

"a" ne bouge pas au cours du temps je suis d'accord mais les vecteurs x1 et z2 eux bougent au cours du temps alors, je ne vois pas trop pourquoi tu pourrais m'en dire plus stp car pour moi x1 c'est presque la meme chose que a finalement.
par contre J'ai bien compris que ça donnait 0 dans leur base respective mais tu saurais m'expliquer aussi lorsque c'est dans une autre base comment l'on procède pour les dériver ou c'est trop compliqué, il ne suffit pas juste de passer d'une base à une autre grace a la formule de la base mobile ?

et juste tu m'as pas répondu sur ça : si tu pouvais me donner un exemple d'un vecteur taux de rotation stp ? car pour moi si on a un angle de pi/6 par exemple, en le dérivant on trouve 0 nan ? donc le vecteur taux de rotation serait tout le temps égale à 0 ? et comment on dérive de le "t" en bas ?

ah oui et merci aussi pour l'indication du z1^z2 j'ai trouvé le bon résultat du coup grâce à toi !

j'espère que je ne te dérange pas trop en tout cas, mais j'ai franchement bien avancé heureusement que tu es là et encore merci !
un dernier petit truc après au niveau de l’accélération et ce sera tout bon

(Modifié par Thomie le 01-03-2016 à 23:47)
Re: [Méca] Projection
le  2-03-2016 à 22:21 #
Ca ne me dérange pas de te répondre, c'est juste que je n'ai pas beaucoup de temps ces temps-ci

Voici un exemple pour le vecteur taux de rotation (R1/R0) :

Imagine que le bras robotisé qui fait du pick&place donc il prend quelque chose à un endroit donnée (alpha à cet endroit = 30° = pi/6), place ce quelque chose à un autre endroit (alpha à cet autre endroit = -30° = -pi/6) et refais la même chose. On va décrire ce mouvement périodique le plus simplement possible donc je vais utiliser un sinus. Donc on a :

F étant le nombre de prend+place que le machine fait chaque seconde. Donc, on a :


"a" ne bouge pas au cours du temps je suis d'accord mais les vecteurs x1 et z2 eux bougent au cours du temps alors, je ne vois pas trop pourquoi tu pourrais m'en dire plus stp car pour moi x1 c'est presque la meme chose que a finalement.
par contre J'ai bien compris que ça donnait 0 dans leur base respective mais tu saurais m'expliquer aussi lorsque c'est dans une autre base comment l'on procède pour les dériver ou c'est trop compliqué, il ne suffit pas juste de passer d'une base à une autre grace a la formule de la base mobile ?

En mécanique, tout ce qui est lié à un repère peut bouger. Par exemple, tu prends un repère R0, tu construis un repère R1 qui tourne autours de R0, tu te mets dans le repère R1 (donc R1 devient un repère fixe) et tu vas trouver que c'est R0 qui bouge, même si R0 est ton premier repère. En d'autre terme, lorsque tu es dans un repère donné, tu peux considérer que tout les vecteurs de bases d'autre repère dépendent du temps. Par contre, ce qui est fixe, c'est ce qui est rigide dans la mécanique (longeur ou largeur d'un bras, l'angle entre 2 cylindres s'ils sont soudés ensemble, etc...).
Pour trouver la dérivée d'un vecteur de base, tu peux le transformer le vecteur dans une base fixe (il y aura plein de alpha et beta qui vont apparaître) et calculer la dérivée. Le problème, c'est que ça peut devenir assez énorme (donc plus de faute d'inattention) et ce n'est pas vraiment élégant (plein de cosinus, plein de sinus et des équations qui peuvent prendre plusieurs ligne). L'autre manière, qui est utilisé dans ton exercice, c'est :
- tu calcule le vecteur taux de rotation qui exprime la rotation du repère i autours du repère que tu considère comme fixe (ici, R0). Ce sont les Omega(Ri/R0) (Ri peut être R1 ou R2).
- Le variation du vecteur de base est en faite une vitesse et elle peut être décomposé en 2 vitesses : la vitesse du vecteur du base dans son propre repère (= Ri) et la vitesse due à la vitesse du référentiel Ri.
- pour la vitesse due à la vitesse du référentiel Ri, tu bouges le vecteur de base à l'origine du repère fixe (=R0) et tu calcules la vitesse due à la rotation de Ri (le vecteur de base correspond au vecteur position)
Re: [Méca] Projection
le  4-03-2016 à 09:50 #
salut, merci pour l'exemple meme si on avait dit un truc facile, je m'attendais pas à ça !

bon bah du coup il me reste plus que quelques trucs sur l'accélération
déja juste quand on calcule une vitesse puis une accélération, je me demandais ce que devenait le "dt" en bas de la fraction ? car j'ai l'impression qu'il disparaît après pourtant si l'on dérive le "t" pour la vitesse ça ne devrait pas être du coup "d(dt)" pour l'accélération vu que l'on redérive bien le haut et le bas nan ?

et j'ai un autre petit problème niveau calcul en fait, je dois pour l'accélération calculer la dérivé de : "(a+r*sin(B)) * A' * >Y1,2"
avec a donc qui ne bouge pas au cours du temps, et r, sin(B), A' (dérivée de l'angle alpha) et >Y1,2 ( vecteur directeur ) qui bougent
or je sais pas trop comment procéder, quelle formule utiliser de plus il y a marqué directement le résultat sur mon énoncé du coup ça m’avance pas trop

Re: [Méca] Projection
le  4-03-2016 à 11:34 #
Je n'ai pas vraiment compris ta première question, mais ceci peut peut-être t'aider :

Le dt est un peu special parce que, lorsque tu prends la formule de la derivé :

dt est une constant qui est super-proche de 0 (donc elle ne depend pas de t).

quelle formule utiliser de plus il y a marqué directement le résultat sur mon énoncé du coup ça m’avance pas trop

Tu peux faire une dérivation classique Et, effectivement, r, B, A', et y1,2 dependent du temps

(Modifié par Alcar le 04-03-2016 à 11:38)




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