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Maths: question de cours: quelle est la différence entre un majorant et un maximum?

Question de Confucius. Devoir de maths, 15-18 ans (2e, 1e, terminale / 4e secondaire à 5e/6e secondaire).
le 10 février à 23:06 #
Bonjour,

Le cours dit qu'une fonction pouvait avoir plusieurs majorants mais qu'un seul maximum.

Pourquoi plusieurs majorants sont possibles?

Quel est la différence entre un majorant et un maximum?

Les deux c'est du côté des images? ou des antécédents?

Cordialement à tous
Re: question de cours: quelle est la différence entre un majorant et un maximum?
le 11 février à 17:33 #
Bonjour

La différence entre un majorant et un maximum pour une fonction f sur un intervalle I est qu'un maximum est atteint et un majorant ne l'est pas forcément.
Je veux dire que si M est un maximum de f sur I il y a un nombre a de I pour lequel f(a)=M

Par exemple si on considère la fonction x -->-x²+1 sur l'intervalle (-3,1) elle a dans cette intervalle un maximum égal à 1
Elle a une multitude de majorants par exemple 7, 3 ou 25 ou en fait n'importe quel nombre supérieur ou égal à 1.
1 est donc à la fois un majorant et le maximum.
Re: question de cours: quelle est la différence entre un majorant et un maximum?
le 11 février à 20:50 #
Bonjour,
merci d'avoir répondu.

Votre réponse est bien expliquée.

Mais le problème c'est moi qui a du mal à comprendre, car il y a toujours des trucs qui bloquent.

Dans votre exemple, il y a des trucs qui me bloquent.

Dans l'exemple -x^2+1, Pourquoi dire le maximum est sur l'intervalle? Le maximum est du côté des images, alors , A moins que ce soit l'antécédent qui a la plus grande image qui soit considéré comme le maximum sur son intervalle?

Donc en fait l'image est un facteur pour trouver l'antécédent?

c'est cette expression chercher sur intervalle qui me gène, car pour moi, si les majorants sont du côté des images, je pensais qu'on dirait chercher sur f(x)

Bon laissons de coté l'intervalle qui m'embrouille, je vais essayer de voir si j'ai compris le raisonnement pour déterminer les majorants dans les images:
Si on prend votre exemple (très bonne idée cet exemple), -x^2+1
7, 1, 3, 25 sont des majorants de l'intervalle (je vérifie si je comprends):
du côté des images -x^2+1=f(7)= 3
25= -x^2+1
24=-x^2
x= racine 24= 2 racine6
25=f( 2racine6)

f(3)= racine2
1= f(0)

Ce qui me bloque encore maintenant, c'est que je me demande comment vous choisissez les majorants. Est-ce que toutes les images positives sont des majorants?

Est-ce que les majorants c'est désigner toutes les images positives correspondant aux antécédents d'un intervalle? (ah oui, là j'ai compris pourquoi vous parliez d'intervalle, c'est pour faire référence à toutes les images correspondant aux antécédents d'un intervalle, c'est bien cela?)

Est-ce que j'ai tout bien compris ou pas?

En tout cas encore merci pour m'avoir répondu. C'est une question difficile pour moi, c'est pourquoi cela mettra plus de temps avant que je comprenne.

Cordialement et bonne soirée





(Modifié par Confucius le 11-02-2017 à 20:52)

(Modifié par Confucius le 11-02-2017 à 21:14)
Re: question de cours: quelle est la différence entre un majorant et un maximum?
le 11 février à 21:39 #
Dans l'exemple -x^2+1, Pourquoi dire le maximum est sur l'intervalle? Le maximum est du côté des images, alors , A moins que ce soit l'antécédent qui a la plus grande image qui soit considéré comme le maximum sur son intervalle?


On regarde succcessivement tous les nombres x de l'intervalle I (donc entre -3 et 1) et on cherche leur image f(x)
Par exemple -1 a pour image -(-1)²+1 ce qui fait 0.
0 a pour image 1.
1/2 a pour image -1/4+1 soit 3/4.
Le maximum qu'on trouve (pour l'image f(x) de x est 1. On la trouve en prenant x valant 0.
Le maximum de f pour x dans l'intervalle[-3,1] est 1 (à lire en ordonnée). Il est atteint pour x=0 (à lire en abscisse)



Ajout du 11-02-2017 à 21:49:

Ce qui me bloque encore maintenant, c'est que je me demande comment vous choisissez les majorants. Est-ce que toutes les images positives sont des majorants?

Est-ce que les majorants c'est désigner toutes les images positives correspondant aux antécédents d'un intervalle?


Donc il y a lles nombres x de l'intervalle I et leurs images.
La plus grande de toutes les images est le maximum de f sur I.
Ici 1 est la plus grande de toutes les images des nombres de I. C'est le maximum de f pour x dans I.
On peut dire que pour n'importe quel x de I, f(x)<=1
Ce maximum est atteint lorsque x=0.
En effet f(0)=1

Maintenant, comme toutes les images d'un élément de I sont inférieures à 1, du coup elles sont aussi inférieures à 2. (Au hazard. car n'importe quel nombre plus gransd que 1 est lui aussi un majorant.
On peut dire que pour n'importe quel x de I, f(x)<=2 (mais il n'y a aucun x dans I pour lequel f(x)=2)

Une fonctionpeut avoir un majorant sans pour autant avoir un maximum.
Par exemple sur l'intervalle ]0,+oo) la fonction x -->- 1/x a pour majorant 0
En effet pour n'importe quel x strictement positif, -1/x>0.
Mais il n'y a pas de reel x pour lequel -1/x vaut 0.
0 n'est pas un maximum. Seulement un majorant.
(Et il n'y a pour cette fonction ni minorant ni minimum)
Re: question de cours: quelle est la différence entre un majorant et un maximum?
le 11 février à 23:33 #
Bonjour,
en résumé un majorant est une valeur image limite. Elle n'est pas forcément atteinte si on prend votre exemple -1/x
lim -1/x tend vers 0 quand x tend vers + infini.

Alors qu'un maximum a un antécédent précis lui correspondant.
Et dans le cas où il y a un maximum, dans le précédent exemple, vous avez dit que les majorants sont supérieurs au maximum de l'intervalle, si j'ai bien compris?


Au fait vous avez dit qu'une fonction n'a pas toujours un maximum.
Mais Est-ce que l'inverse est-il possible? Est-ce qu'une fonction peut avoir un maximum et ne pas avoir de majorants?

Par exemple pour la fonction -x^2+1, Dans l'intervalle [-1;3] on voit qu'aucune image ne dépasse 1. Alors comment deviner quel est le majorant dans cet intervalle? Comme vous l'avez dit, le maximum est 1 atteint pour x=0. Mais le ou les majorants lesquels sont-ils? Sont-ils à l'extérieur de l'intervalle? Mais a-t-on le droit de chercher des majorants à l'extérieur d'un intervalle?

Cordialement

(Modifié par Confucius le 11-02-2017 à 23:36)
Re: question de cours: quelle est la différence entre un majorant et un maximum?
le 26 février à 12:57 #
Bonjour
Je n'avais pas vu cette réponse, es-tu encore intéressée par la question?
Re: question de cours: quelle est la différence entre un majorant et un maximum?
le 26 février à 20:17 #
bonjour
oui
cordialement
Re: question de cours: quelle est la différence entre un majorant et un maximum?
le 26 février à 20:53 #
en résumé un majorant est une valeur image limite.


Justement non. Un majorant c'est n'importe quel nombre plus grand que toutes les images (lorsqu'on parle de fonction). Cela peut être une image ou ne pas en être une.

Elle n'est pas forcément atteinte si on prend votre exemple -1/x
lim( -1/x )= 0 quand x tend vers + infini.


Ça c'est d'accord. Sauf l'usage du "elle".
"Elle" pour image ? Mais justement seules les images sont atteintes.
Pour x--->-1/x la valeur -10 est atteinte. C'est l'image de 0.1.
Par contre la valeur 0 n'est pas atteinte. Ce n'est pas une image.

Alors qu'un maximum a un antécédent précis lui correspondant.


Oui. Mais toutefois un maximum peut éventuellement avoir plusieurs antécédents. Par exemple sur [-2,2 ] la fonction carré a pour maximum 4. Ce maximum est à la fois l'image de 2 et aussi celle de -2.

Et dans le cas où il y a un maximum, dans le précédent exemple, vous avez dit que les majorants sont supérieurs au maximum de l'intervalle, si j'ai bien compris?

C'est simple. Le maximum, c'est la plus grande des images. Un majorant est un nombre plus grand que toutes les images. Alors forcément n'importe quel nombre plus grand que le maximum est un majorant et le maximum est lui aussi un majorant.


Au fait vous avez dit qu'une fonction n'a pas toujours un maximum.
Mais Est-ce que l'inverse est-il possible? Est-ce qu'une fonction peut avoir un maximum et ne pas avoir de majorants?

S'il y a un maximum il y a forcément une infinité de majorants.

Par exemple pour la fonction -x^2+1, Dans l'intervalle [-1;3] on voit qu'aucune image ne dépasse 1. Alors comment deviner quel est le majorant dans cet intervalle? Comme vous l'avez dit, le maximum est 1 atteint pour x=0. Mais le ou les majorants lesquels sont-ils? Sont-ils à l'extérieur de l'intervalle? Mais a-t-on le droit de chercher des majorants à l'extérieur d'un intervalle?

"LE" maximum, "UN" majorant !!!
Le maximum est 1.
1, 10, V2, 1 000 000 sont des majorants (par exemple).




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