Souhaitez-vous participer à la création d'un jeu vidéo inspiré de Stardew Valley, ou le tester lorsque la version bêta sera disponible ? Remplissez notre sondage ou inscrivez-vous à notre lettre d'information (en bas de page)
1

Maths: DM maths angles orientés cercle trigonométrique (09/01/2018)

Question de mingmenchan. Devoir de maths.
le  2 janvier à 20:02 #
Bonjour,

Matière / Classe: première S

Énoncé de l'exercice:Soient A,B,C, trois points d'un cercle T de centre O. Soit D le point diamétralement opposé à A sur T.
Question 1 : Montrer en utilisant la relation de Chasles que (OB,OD= PI-(OA,OB)
Où suis-je bloqué:
http://up.sur-la-toile.com/i1m4N

Mes questions:

Ajout du 02-01-2018 à 20:04:

Pour la première question, j'ai décomposé (OB,OD) en introduisant OA
soit (OB, OD) = (OB,OA)+(OA,OD)
oir (OA,OD ) = PI
donc (OB,OD) = (OB,OA)+ PI
(OB,OD) = -(OA,OB)+PI
(OB,OD) = PI-(OA,OB)

Ajout du 02-01-2018 à 20:06:

Question 2 : exprimer que la somme des angles du triangle AOB est égale à PI.
Et là je ne sais pas...
Re: DM maths angles orientés cercle trigonométrique
le  3 janvier à 18:08 #
bonjour
pense aux angles opposés : (u,v) = (-u,-v)
Re: DM maths angles orientés cercle trigonométrique
le  6 janvier à 21:00 #
J'ai trouvé comme solution :
(OA,OB)+(BO,BA)+(AB,AO)
= (OA,AB)+(OB,AB)+(AB,AO)
= (OA,AB)+(AB,AO)
= (OA,AO)
= PI

Ajout du 06-01-2018 à 21:01:

Question 3 : en déduire que (OB,OD) = 2(AB,AO)
Et là je ne sais pas
Je pensais repartir de la première égalité soit (OB,OD) = PI-(OA,OB) mais je ne sais pas comment
Re: DM maths angles orientés cercle trigonométrique
le  6 janvier à 23:48 #
euh, ça manque un peu d'explications,
je ne sais pas du tout comment tu passes de
(OA,OB)+(BO,BA)+(AB,AO) --> qui est la somme des angles orientés d'un triangle OAB direct, c'est exact
à
(OA,AB)+(OB,AB)+(AB,AO) --> qui n'est pas égal (même modulo ) à la précédente
Re: DM maths angles orientés cercle trigonométrique
le  7 janvier à 16:48 #
Montrer que la somme des mesures (positives) des trois angles d'un triangle
est égale à π.
C'est une figure fermée. Donc j'écris, que l'angle orienté : (u ;u)=0 .Par exemple : (⃗AB ;⃗AB)=0 .
Donc, d'après la relation de Chasles :
(OA,OC)+(OC,AC)+(AC,OA)=0
(OA,OC)+(-CO,-AC)+(AC,-AO)=0
(OA,OC)+(CO,CA)+ π+(AC,AO)=0
(OA,OC)+(CO,CA)+(AC,AO)=- π
Or, π. n'est pas une mesure principale, ni une mesure positive. La mesure principale
associée est égale à π (on rajoute un tour, soit +2π).
donc (OA,OC)+(CO,CA)+(AC,AO)=π

Ajout du 07-01-2018 à 16:52:

Je ne sais pas par contre pour la question suivante
Re: DM maths angles orientés cercle trigonométrique
le  7 janvier à 18:19 #
Hello

1 - (OA,OC)+(OC,AC)+(AC,OA)=0
2 - (OA,OC)+(-CO,-AC)+(AC,-AO)=0
3 - (OA,OC)+(CO,CA)+ π+(AC,AO)=0
4 - (OA,OC)+(CO,CA)+(AC,AO)=- pi

en ligne 3, tu as appliqué une propriété que tu n'as pas explicitée. D'autant qu'elle n'est pas évidente. Quitte à vouloir être précis, autant aller jusqu'au bout.
5- donc (OA,OC)+(CO,CA)+(AC,AO)=pi
D'accord pour le rajout d'un tour.
Bravo, la somme des angles orientés d'un triangle en géométrie euclidienne vaut

Mais la question 2) ne te demandais pas de démontrer ce résultat, seulement de l'utiliser : c'est ce que veut dire "exprimer"
La, l'exercice suppose que tu as vu la démonstration en cours et ne te la redemande pas, il veut seulement que tu appliques ce résultat dans un cas particulier, le triangle AOB. Donc il te suffit d'écrire la relation, par exemple pour un triangle direct ABO :


Mais venons-en à la question 3)
Question 3 : en déduire que (OB,OD) = 2(AB,AO)
Bon, la déduction demandée n'est pas si "immédiate" que le laisse supposer l'énoncé.
En effet, on a bien (AB,AO)+(BO,BA)+(OA,OB)=pi (somme des angles orientés du triangle direct ABO)
(AB,AO)+(BO,BA) =pi -(OA,OB) (simple soustraction)
et comme pi = (OA,OB)+(OB,OD) (Chasles, et O est sur le segment [AD]
on obtient
(AB,AO)+(BO,BA) =(OB,OD)
Toujours pas ce qui est demandé, hein.
Alors,on fait intervenir LA propriété évidente du triangle AOB : il est isocèle de sommet O (les distances OA et OB sont le rayon du cercle).
Donc (mais ça dépasse le "en déduire") : (AB,AO) = (BO,BA) : les deux angles opposés au sommet sont égaux.
Et tu peux alors conclure.

Re: DM maths angles orientés cercle trigonométrique
le  7 janvier à 19:17 #
Merci beaucoup. En fait, j'ai fait une erreur dans ma démonstration car j'ai utilisé le point C au lieu du point B.
Ceci dit, notre prof ne nous a pas démontré la propriété concernant le triangle donc j'ai beaucoup cherché.

Question suivante : montrer de même que (OD,OC) = 2(AO,AC)

Je reprends la même méthode.
J'exprime d'abord (OD,OC)
(OD,OC) = (OD,OA)+(OA,OC)
(OD,OC)= π + (OA,OC)

Ensuite, je vais exprimer la somme des angles dans le triangle AOC
soit (OA,OC)+(CO,CA)+(AC,AO)=π

Ajout du 07-01-2018 à 19:18:

Par contre, je ne suis pas sûre car j'ai bien :
(OA, OC)+(CO,CA)+(AC,AO)=π

(CO,CA)+(AC,AO) = π-(OA,OC)

sauf que j'ai trouvé (OD,OC)=π+(OA,OC) donc je dois avoir une erreur de signe
Re: DM maths angles orientés cercle trigonométrique
le  7 janvier à 19:59 #
Euh, je ne comprends pas bien de quel signe tu parles.
OD,OC = pi + OA,OC : c'est exact,

O sur le segment [AD]
OD,OC + OC,OA = pi
somme des angles du triangle
OC,OA+CA,CO+AO,AC = pi
Je combine les deux équations (et je te passes les détails) :
OD,OC = CA,CO+AO,AC
isocèle: CA,CO = AO,AC
terminé
Re: DM maths angles orientés cercle trigonométrique
le  7 janvier à 20:40 #
Question suivante : en déduire que (OB,OC)=2(AB,AC)
(OB,OC)=(OB,OD)+(OD,OC)
(OB,OC)=2(AB,AO)+2(AO,AC)
On met le 2 en facteur
(OB,OC)=2[(AB,AO)+(AO,AC)]
(OB,OC)=2(AB,AC)

Compléter l'énoncé du théorème:
'L'angle au centre est égal au double de l'angle inscrit interceptant le même arc'.
Re: DM maths angles orientés cercle trigonométrique
le  7 janvier à 20:56 #
Bravo, tu commences à maitriser les angles orientés.

Mais en fait, es-tu certain que c'est vrai dans TOUS les cas de figure ? Ton énoncé montrait DEUX positions possibles de B et C. As-t-on pu affirmer une chose qui ne soit vraie que dans certains cas ?

Il te faut (faudrait) vérifier tes démonstrations au regard des différentes situations :


Bon courage
Re: DM maths angles orientés cercle trigonométrique
le  9 janvier à 19:58 #
Merci beaucoup

Ajout du 09-01-2018 à 20:05:

J'ai un autre exercice pour jeudi.
http://up.sur-la-toile.com/i1m7p

Ajout du 09-01-2018 à 20:10:

Il faut prouver que les droites (AB) et (DE) sont parallèles soit (AB,DE)=0
J'ai commencé par décomposer (AB,DE)
(AB,DE) = (AB,CB)+(CB,CD)+(CD,ED)
(AB,CB)=(BA,BC)+PI
(BA,BC)=-3PI/4+PI
(BA,BC) =PI/4

Ensuite (CB,CD) = PI/4

(CD,ED) = (DC,DE)+PI
= -PI/2+PI
(DC,DE) = PI/2

donc
(AB,DE)= (BA,BC)+PI+(CB,CD)+(DC,DE)+PI
(AB,DE) = PI/4+PI/4+PI/2 donc j'arrive à Pi et non à 0...
Donc je pense qu'il y a quelque part une errer de signe

Re: DM maths angles orientés cercle trigonométrique
le 10 janvier à 00:15 #
Déjà, ta décomposition est fausse :
tu as écrit
J'ai commencé par décomposer (AB,DE) <=== le terme de droite est DE
(AB,DE) = (AB,CB)+(CB,CD)+(CD,ED) <=== le terme de droite est devenu ED
je n'ai pas regardé la suite.
Re: DM maths angles orientés cercle trigonométrique
le 10 janvier à 07:44 #
Je recommence
(AB,DE)=(AB,CB)+(CB,CD)+(CD,DE)
(AB,CB)=-(AB,CB)+PI
(AB,CB)=(BA,BC)+PI
(AB,CB)=PI/4

(CB,CD) = PI/4

(CD,DE)=(-CD,DE)
(CD,DE)=(DC,DE)=-PI/2

donc (AB,DE)=(BA,BC)+(CB,CD)+(DC,DE)
(AB,DE)=PI/4+PI/4-PI/2
(AB,DE)=0
vecteurs colinéaires donc les droites (AB)et (DE) sont parallèles
Re: DM maths angles orientés cercle trigonométrique
le 10 janvier à 13:09 #
?
tu as écrit
(AB,CB)=-(AB,CB)+PI
mais, une simple figure t'aurait fait voir ton erreur

Je préfère cette décomposition (parce que les conversions de signe sont plus évidentes) :



Donc à un tour près :

Les deux vecteurs sont colinéaires, de même sens.

A part Chasles, la seule autre propriété que j'utilise est
Re: DM maths angles orientés cercle trigonométrique
le 10 janvier à 13:43 #
Je n'arrive pas à visualiser la décomposition (quand je clique sur l'image, rien n'apparaît), est-ce normal ?
Re: DM maths angles orientés cercle trigonométrique
le 11 janvier à 18:23 #
Je ne comprends pas ce que tu veux dire.
Mon expression n'est pas une image au sens classique. Tu ne peux pas "cliquer dessus" pour la faire apparaitre dans une nouvelle fenêtre.
Re: DM maths angles orientés cercle trigonométrique
le 11 janvier à 18:27 #
Problème avec latex, j'imagine. Mingmenchan, tu vois qqchose qui fait peur entre ici:



Et là ?

Ca doit ressembler à la première partie de:


(Modifié par Alcar le 11-01-2018 à 18:36)




Ces discussions pourraient vous intéresser également:


maths, angles orientés
Maths : les angles orientés
Dm de maths sur les angles orientés
maths angles orientés
[Maths] Trigo - Angles orientés