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Maths: Dm maths ficelle première S trinôme (25/01/2017)

Question de mingmenchan. Devoir de maths, 15-18 ans (2e, 1e, terminale / 4e secondaire à 5e/6e secondaire).
le 21 janvier à 18:53 #
Bonjour,

Matière / Classe: première S

Énoncé de l'exercice: Où faut-il couper une ficelle d'un mètre de long pour former avec l'un des morceaux un carré et avec l'autre un triangle équilatéral de telle façon que la somme de leurs aires soit minimale? Justifier.

Où suis-je bloqué:

Mes questions: Voilà ce que j'ai trouvé
Nous savons que la somme des périmètres des carré et triangle vaut 1.
P(carré)+ P(triangle) = 1
Soit x, le périmètre du carré
Le périmètre d'un carré est égal côté * 4 donc le côté est égal à x/4
L'aire de ce carré est donc égale à (x/4)² soit x/16

Considérons maintenant le périmètre du triangle

P(triangle) = 1-x
De même le triangle est équilatéral donc la longueur d'un côté vaut (1-x)/3
Jusque là, çà va mais après je ne suis pas sûre de mon raisonnement ni de mes résultats.
J'ai essayé de calculer l'aire du triangle en considérant que ce triangle équilatéral est composé de deux triangles rectangles pour déterminer la longueur de la hauteur.
La hauteur d'un triangle est confondue avec la médiane et la médiatrice donc cette longueur arrive sur le côté opposé à (1-x)/6
J'ai ensuite appliqué Pythagore
h²+ ((1-x)/6))² = ((1-x)/3)²
Et là je ne sais pas si cela tient la route
Re: Dm maths ficelle première S trinôme
le 21 janvier à 19:38 #
C'est juste mais tu t'embêtes avec un mauvais choix de variables.
Choisis donc x comme longueur du coté du triangle (hauteur xV3/2 Et aire x^2V3/4).
Coté du carré (1-3x)/4
Re: Dm maths ficelle première S trinôme
le 21 janvier à 21:19 #
Côté du triangle : x
Donc si je calcule la hauteur en appliquant Pythagore :
x² = h²+(x/2)²
x² = h²+x²/4
h² = x²-(x²/4)
h² = (xracine3)/2

Aire du triangle : (x²racine carré de 3)/2

Périmètre du carré = 1-3x
coté carré = (1-3x)/4
Aire du carré : ((1-3x)/4)² soit (1-3x)²/16

Aire du carré et aire du triangle supérieures ou égales à 0
(1-3x)²/4 + (x²racine carré de 3)/4 > 0

((1-3x)²+4x²racine carré de 3 ))/16>0
(1-3x)²+4x²racine carré de 3>0
Re: Dm maths ficelle première S trinôme
le 21 janvier à 21:42 #
Il n'y a pas lieu d'écrire que les aires sont positives, bien sûr qu' elles le sont.
Il faut trouver le minimum de la fonction qui à x fait correspondre la somme des 2 aires ( recherche du sommet de la parabole ou du moins son abscisse)
Re: Dm maths ficelle première S trinôme
le 22 janvier à 19:02 #
Il faut que je dérive la fonction alors?
Re: Dm maths ficelle première S trinôme
le 22 janvier à 19:11 #
www.lememento.fr/aire-et-surface-dun-triangle-equilateral
Re: Dm maths ficelle première S trinôme
le 22 janvier à 19:53 #

le 22-01-2018 à 19:02, @mingmenchan :
Il faut que je dérive la fonction alors?



C'est une méthode. On peut aussi connaitre le sommet d'une parabole mais ce n'est pas indispensable.

C'est quoi ta fonction ?
Re: Dm maths ficelle première S trinôme
le 22 janvier à 20:37 #
Si je développe
(1-3x)²+4 x²racine de 3 = 1²-6x+9x²+4x²racine carré de 3
J'ai pensé mettre x en facteur pour arriver à un trinôme soit
x²(9+4racine de 3)-6x+1


Ajout du 22-01-2018 à 20:37:

Merci Alcar pour le lien. Cela confirmer mon calcul.
Re: Dm maths ficelle première S trinôme
le 22 janvier à 21:00 #
Ce n'est pas la somme des aires mais 16 fois cette somme, non ?
Ce n'est d'ailleurs pas important il suffit de le dire.
Ensuite tu écris un trinôme ce qui est bien même si cela ne s'appelle pas mettre x en facteur.
Minimum pour x=?
Et donc où couper la ficelle ?
Re: Dm maths ficelle première S trinôme
le 23 janvier à 19:06 #
Je pense calculer le discriminant et ses racines mais je ne suis pas sûre.
En plus, j'ai une racine de 3 qui me pose problème
Re: Dm maths ficelle première S trinôme
le 23 janvier à 19:59 #
Ce trinôme est associé à une parabole.
Le minimum de la fonction correspond au sommet de la parabole.
On sait par coeur la formule ( -b/2a ) ou on résout f'(x)=0
f(x)=0 permet de trouver les points d'intersection enterré la parabole et le 1er axe
Re: Dm maths ficelle première S trinôme
le 24 janvier à 17:35 #
J'ai dérivé la fonction.
Cela donne 2x(9+4racine carré de 3)-6 = 0
x=3/(9+4racine carré de 3) X fait environ 19 cm
Re: Dm maths ficelle première S trinôme
le 24 janvier à 20:19 #
Attention. Tu dois répondre à la question : où couper la ficelle.
Ce que tu as trouvé c'est le côté du triangle.
N'arrondis qu'à la fin.




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