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Maths: Comment calculer un volume ?

Fiche de Radiator. Maths.
Bonjour à tous,
Que ce soit pour l'école ou à d'autres fins, il n'est pas rare qu'on doive calculer des volumes d'objet. Si certains sont faciles à calculer, d'autres le sont beaucoup moins, c'est pourquoi je vous propose un récapitulatif des volumes les plus courants



Unités


Pour calculer un volume, convertissez toutes les mesures pour obtenir la même unité, sinon le volume ne sera pas correctement calculé (en cm³, dm³ ou m³ généralement).


Polyèdres simples



Le cube


Le cube, dont toutes les faces sont de même aire, est sans doute le prisme dont le volume est le plus facile à calculer.

L'arête de ce cube est c. Le volume sera donc :
ou

Le parallélépipède rectangle


Aussi très courant, sa formule demeure elle aussi assez simple

L=longueur, l=profondeur, h=hauteur
Il suffit de multiplier ces trois valeurs pour obtenir le volume


Polyèdres plus complexes courants



Polyèdres plus complexes courants aux faces "droites"



Le prisme droit

On distingue les prismes droits par la forme de leur base. La formule de l'aire de la base est nécessaire au calcul du volume du prisme. Sur cette image, la base est trapézoïdale. (Je vous rappelle que la formule de l'aire d'un trapèze est
avec A pour grande base, a pour petite base et h pour hauteur du trapèze.)


Pour le volume du prisme, on multiplie sa base (aire) par sa hauteur, ce qui nous donne :



La pyramide

Là aussi, il faut d'abord mesurer l'aire de la base.



Polyèdres plus complexes courants aux faces "courbes"



Le cône droit

Encore une figure qui nécessite le calcul de sa base au préalable (ici un cercle. La formule de l'aire d'un cercle est . R=rayon et la valeur approché de est 3,1415926535).



Le cylindre

Si j'ai placé le cylindre dans le chapitre 'polyèdres plus complexes', c'est uniquement parce que deux faces sont des disques. On a donc encore besoin de la formule de l'aire du cercle (voir ci-dessus, le cône droit).

Il suffit de multiplier l'aire de la base par la hauteur

Si on remplace B par la formule complète de l'aire du cercle, on a :

Cette seconde version plus détaillée permet juste d'éviter de confondre avec la formule de l'aire du parallélogramme.

La sphère

Le calcul d'un volume sphérique est difficile à calculer autrement que sur papier, car le rayon intervient (impossible de le calculer avec une latte)



Polyèdres rares, réguliers et plus complexes


Maintenant que les plus courants ont été cités, je peux introduire ce chapitre. Il est destiné à recenser des polyèdres aux noms et formules méconnus, et ces dernières sont plus compliquées.

Le tétraèdre régulier


Il s'agit d'une pyramide à base triangulaire. Il n'y a donc que quatre faces, le minimum pour un volume aux faces 'droites'. Puisqu'il est régulier, toutes les faces sont des triangles équilatéraux de mêmes dimensions.

Si les arêtes du tétraèdre sont chacune de longueur x, alors la formule sera :


L'octaèdre régulier


L'octaèdre régulier comporte huit faces en forme de triangles équilatéraux, elles aussi de mêmes dimensions.

Si x vaut la longueur de chaque arête, la formule du volume sera :



Le dodécaèdre régulier


Ce solide est composé de douze faces en forme de pentagones réguliers, de quoi décourager les plus ambitieux qui souhaitent trouver la formule tout seul . Et c'est avec plaisir que je vous fournis la formule, que vous soyez ambitieux ou non. x reste la longueur de chaque arête.



L'icosaèdre régulier


Pour finir cette série, voici l'icosaèdre. Composé de 20 faces en forme de triangles équilatéraux de mêmes dimensions, sa formule est :

si x est la longueur de chaque arête


Les volumes irréguliers


Je désigne par 'volumes irréguliers', les objets de la vie courante. Prenons une paire de ciseaux en exemple.
Le seul moyen de calculer son volume est de remplir un récipient gradué avec de l'eau jusqu'à une valeur ronde. Ensuite, vous plongez l'objet dans l'eau, et son volume sera la différence entre la graduation indiquée avec l'objet et la graduation de départ.



En espérant que cette fiche vous ait aidé

Radiator

P.S. N'hésitez pas à laisser vos commentaires pour améliorer cette fiche ou y rajouter des volumes, j'y serai réceptif.




Catégorie: Mathématiques
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le 12-01-2013 à 13:50 #
Salut ! Bonne fiche, claire avec de bons schémas .
Aller, pour embêter la gallerie, les formules pourraient être en LateX !
Re: Comment calculer un volume ?
le 12-01-2013 à 15:51 #
Le sommaire sera automatiquement mis à jour, no problema!
Re: Comment calculer un volume ?
le 12-01-2013 à 20:52 #
Voilà la version 2.0 , j'ai mis les formules en LaTeX, et des animations 3D de quelques volumes complexes
Re: Comment calculer un volume ?
le 12-01-2013 à 21:04 #
Excellent!
Re: Comment calculer un volume ?
le 12-01-2013 à 21:06 #
merci beaucoup, c'est très encourageant !
Re: Comment calculer un volume ?
le 12-01-2013 à 22:33 #
Parfait.
Juste une remarque en ce qui concerne le prisme droit :
Tu utilises 2 fois la hauteur h dans deux sens différents.
Une fois comme hauteur du trapèze, la deuxième fois comme hauteur du prisme.
Ca peut prêter à confusion.

Idem pour B qui est "à la fois" une base et une surface dans tes formules.





(Modifié par Ali_Gator le 12-01-2013 à 22:39)
Re: Comment calculer un volume ?
le 13-01-2013 à 10:07 #
merci Ali, je vais essayer de reformuler ça
Re: Comment calculer un volume ?
le 13-01-2013 à 11:47 #
Nickel, mais encore des chippotages juste pour t'embêter !

\pi donne en LaTeX

\times => est plus joli que *





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