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Physique: Comment résoudre un exercice de mécanique niveau TS (Partie 1)

Fiche de Kweeky. Physique, 15-18 ans (2e, 1e, terminale / 4e secondaire à 5e/6e secondaire).
Les exercices de mécanique pouvant être rencontrés en classe de Terminale scientifique peuvent sembler très différents les uns des autres, tant les situations présentées sont nombreuses. Il faut aussi compter sur l'imagination parfois très fertile des concepteurs de sujets ! Mais comme certains d'entre vous l'ont peut-être déjà remarqué, il existe de très nombreux points communs entre tous ces exercices, ce qui fait qu'un nombre très restreint de méthodes de résolution ont besoin d'être maîtrisées.

Dans cette première partie, nous verrons comment résoudre un exercice de mécanique en utilisant les lois de la dynamique. Dans une deuxième partie, nous verrons comment venir à bout d'un exercice par une étude énergétique de la situation. Une question se pose peut-être dès à présent : comment savoir quelle méthode utiliser dans telle ou telle situation ? La réponse est simple. Le contexte (ce que raconte l'énoncé) peut déjà donner des indices. La connaissance (ou au contraire l'ignorance) de certaines données aussi. Mais ce qu'il faut retenir, c'est que par n'importe quelle méthode, on DOIT arriver au même résultat. Après c'est l'entraînement ainsi que l'intuition qui vous guideront vers la meilleure méthode.

Système étudié



Après ce petit préambule, rentrons dans le vif du sujet. Il faut toujours commencer par définir le référentiel utilisé, ainsi que le système que l'on va étudier. Très souvent, c'est le référentiel terrestre, aussi appelé référentiel du laboratoire, qui est utilisé. L'important est de choisir un référentiel galiléen. Si vous ne savez pas ce que c'est exactement, faites un tour par ici avant de continuer.

Le système étudié est généralement un solide : bille, ballon de foot, skieur, véhicule, etc... Mais au lycée on ne traite que de mécanique du point : on assimile toujours notre système à un point matériel de masse m.

Bilan des forces



Avant de passer aux calculs, il nous reste encore quelque chose à faire : un recensement de toutes les forces qui s'exercent sur notre système. Une lecture attentive de l'énoncé est primordiale pour ne rien rater. Par exemple, les forces de frottements sont très souvent négligées, mais pas toujours ! Une étude approfondie du schéma éventuel aide aussi. Mais... Et s'il n'y a pas de schéma ? Et bien il faut en faire un obligatoirement. Il n'a pas besoin d'être à l'échelle, mais il doit faire figurer les angles éventuels ainsi que les forces, sous forme de vecteurs.

Nous allons prendre un exemple : supposons que nous voulions étudier le mouvement d'un électron qui se déplace dans une portion d'espace où existe un champ électrique uniforme. On peut imaginer par exemple un électron dans le tube cathodique d'un oscilloscope. L'étude se fera dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen.

A priori, les forces qui s'exercent sur l'électron sont : la force électrique , le poids et les forces de frottements . Comme la masse de l'électron est très faible, cela permet de négliger le poids. Le fait que l'électron se déplace dans le vide permet de négliger les frottements. Il ne restera plus que la force électrostatique.



Une particule chargée uniquement soumise à la force électrique est en effet l'une des deux situations que l'on peut rencontrer en terminale S, l'autre étant celle d'une particule massive uniquement soumise à son poids.

Application du principe fondamental de la dynamique



On applique ensuite le principe fondamental de la dynamique, aussi appelé deuxième loi de Newton, qui dit que dans un référentiel galiléen, on a :



Dans notre cas :

Et on exprime ensuite le vecteur accélération :

Nous obtenons une équation vectorielle qu'il va nous falloir projeter sur les axes. Au lycée nous n'aurons affaire qu'à des mouvements à une ou deux dimensions, donc nous n'aurons au maximum que deux axes : pas de panique !

Ici, de deux choses l'une : soit les axes sont donnés, et à ce moment-là, il FAUT les utiliser, même s'ils ne vous semblent pas pratiques au premier abord. Généralement, si on donne les axes, c'est pour une bonne raison. Soit on n'impose pas les axes, et il vous faudra choisir vous même votre repère. Là encore, il faut une bonne dose de pratique, ainsi qu'une bonne dose d'intuition. Pour une particule se déplaçant dans un champ uniforme (électrique ou gravitationnel), il peut être judicieux de prendre un des deux axes dans la direction du vecteur champ : c'est le cas dans notre exemple. Dans un problème avec un plan incliné, il est généralement pratique de prendre un des axes parallèles à la pente. S'entraîner à faire des exercices peut vous apprendre des réflexes qui vous feront gagner du temps à l'examen sur ce genre d'interrogation.

On projette sur l'axe x :

On projette sur l'axe y :

Détermination des coordonnés de la vitesse



Pour obtenir les coordonnées du vecteur accélération, il suffit de dériver les coordonnées du vecteur vitesse. Ici, nous devons faire l'opération inverse : connaissant les coordonnées du vecteur accélération, nous devons trouver leurs primitives. Cette opération mathématique s'appelle l'intégration.

nous permet d'écrire que :

nous permet d'écrire que :

À ce niveau-là, je vous conseille de re-dériver par rapport à t les expressions que vous avez trouvé pour la vitesse : si vous ne vous êtes pas trompé, vous allez retomber sur les équations et .

Pour avoir LE vecteur vitesse de l'électron, il nous faut déterminer la valeur des constantes et . Ces deux constantes correspondent aux valeurs des coordonnées du vecteur vitesse lorsque . Il s'agit donc des coordonnées du vecteur vitesse initiale .

On a donc : et .

Imaginons que dans notre exemple que le vecteur suive l'axe x de la gauche vers la droite. On a alors : et .

Soit :





Détermination des coordonnés du vecteur position



On intègre maintenant les coordonnées du vecteur vitesse :

nous permet d'écrire que :

nous permet d'écrire que :

Là encore, pour avoir accès à LA position de l'électron, il nous faut déterminer la valeur des constantes et . Ces deux constantes correspondent aux valeurs des coordonnées du vecteur position lorsque . Il s'agit donc des coordonnées de l'électron à l'instant initial.

On a donc : et .

Imaginons que dans notre exemple l'électron soit à l'origine du repère lorsque . On a alors : et .

Soit :





Et voilà... C'est fini ! Plus exactement, le boulot du physicien est fini. Mais généralement l'exercice n'en a pas fini avec vous, et va vous demander de coiffer votre casquette de mathématicien.

Les équations et sont appelés les équations horaires paramétriques de la position de l'électron (ou plus simplement équations horaires de la position). Elles permettent déjà de poser quelques questions, comme au bout de combien de temps l'électron va-t-il s'écraser sur la plaque du bas ? Et quelle sera alors sa vitesse ? Etc... C'est à partir de là que la "philosophie" des différents exercices va diverger, et ce sera à vous de comprendre les questions et de les transformer en langage mathématique. Cela fait, ce seront uniquement vos compétences de calcul qui feront la différence (ainsi que les capacités de votre calculatrice, peut-être !).

Mais d'autres questions peuvent être formulées si on dispose de l'équation de la trajectoire.

Détermination de la trajectoire



Généralement, les conditions initiales (c'est-à-dire les coordonnées et la vitesse à l'origine) sont suffisamment simples pour que l'on obtienne des équations horaires simples. Les deux équations paramétriques permettent de connaître x et y en fonction de t. L'équation de la trajectoire donne y en fonction de x. Pour l'obtenir, il suffit d'éliminer t entre les deux équations horaires, ce qui sera un jeu d'enfants si ces dernières ne sont pas trop complexes. Reprenons notre exemple :





nous permet d'écrire que : .

On remplace dans , et on obtient :

On retrouve donc le fait que la trajectoire de la particule est une parabole (résultat du cours). Et on obtient une nouvelle équation qui permettra de poser de nouvelles questions, comme quelle est la portée ou la flèche de la trajectoire, est-ce que la particule va atteindre le point A de coordonnés (,), si oui à quelle vitesse, etc... Des heures d'amusement en perspective !

Un dernier conseil avant de se quitter : même si la plupart des questions de ce type ne sont finalement là que pour tester votre aptitude à faire des calculs, n'oubliez jamais que vous êtes un physicien avant tout : quand vous écrivez un résultat numérique, posez-vous toujours la question "Est-ce que ce que je suis en train d'écrire a du sens ?".

Bon courage !

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le  3-02-2013 à 22:24 #
Là encore, pur avoir accès !!!


Re: Comment résoudre un exercice de mécanique niveau TS (Partie 1)
le  3-02-2013 à 23:21 #
Correctionné ! ^^




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