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Maths: UTILES MATHEMATIQUES : EXEMPLE 2

Fiche de newtoon. Maths.
Un cycliste va d'un point A au point B avec une vitesse moyenne (il a un appareil sur le guidon) de 10 km/h.

Au retour (de B à A), il décide de réaliser une vitesse moyenne doublée, soit 20 km/h !



Question : quelle est la vitesse moyenne sur l'aller-retour ?

Vous avez déjà la réponse ? Pas la peine d'aller plus loin, n'est-ce pas ?

Réflexe : il est super tentant de dire que la vitesse moyenne est la moyenne des deux : (20+10)/2 = 15 km/h.

Réflexion : on revient à la définition d'une vitesse pour en avoir le coeur net.

Vérifions pas à pas.

Aller : v1=d1/t1=20 km/h

Retour v2 = d2/t2=10 km/h

Aller-Retour : v3 = d3/ t3 (1)

On a trop de variables et pas assez d'équations. Pour compléter, il faut de suite remarquer que d1=d2=d et que d3=2*d

Grâce aux deux premières équations, on obtient tout de suite les temps t1 et t2 en fonction de la distance :

t1=d/20

t2=d/10

et il faut remarquer que t3=t1+t2 (le temps mis à l'aller-retour est le temps de l'aller plus celui du retour)

Donc on peut remplacer dans (1)



Heureusement pour nous, la distance d est en facteur commun au numérateur et au dénominateur et elle se simplifie et ne rentre donc pas en ligne de compte !



d'où la valeur numérique :

v3 = 40/3 = 13,33...km/h

Conclusion : la vitesse moyenne sur l'aller-retour est de 13,33 km/h

Cet exemple est aussi troublant que le premier, car la majorité d'entre-nous était a priori « sûr de notre coup » en criant « Fingers in the nose : 15 km/h ! ».



Pourquoi était-ce si tentant de répondre 15 directement ?

En fait, notre cerveau est « hors-sujet ».

Il répond malheureusement à un autre problème similaire d'un cycliste qui ferait un même TEMPS de pédalage à 10 km/h, puis à 20 km/h. Dans ce cas effectivement, la vitesse moyenne est de 15 km/h.

Ce n'est pas la même chose que de faire la même DISTANCE !

Cet exemple simple et d'application pratique permet de voir qu'il est préférable d'utiliser notre "système 2" et la rigueur des mathématiques pour avoir le coeur net sur le bon résultat.



Catégorie: Mathématiques
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le  5-02-2013 à 13:54 #
Peut-être que c'est ton intuition qui n'est pas bonne.

Le cycliste fait 2 fois le même parcours, la seconde fois il va 2 fois plus vite donc il met 2 fois moins de temps, donc il roulera 2 fois moins de temps à 20 km/h qu'a 10 km/h.
donc intuitivement la vitesse moyenne est la moyenne de (2 fois 10 km/h) et (1 fois 20 km/h).
10km/h + 10km/h + 20 km/h soit (40 km / 3 heure)
Re: UTILES MATHEMATIQUES : EXEMPLE 2
le  5-02-2013 à 15:37 #

Le  5-02-2013 à 13:54, @zzeolo :
Peut-être que c'est ton intuition qui n'est pas bonne.

L'intuition est souvent trompeuse.
C'est pour cela qu'elle est de "sexe" féminin.

Le problème se corse si l'on se place dans un Univers où la vitesse de la lumière est de 20 km/h .




Re: UTILES MATHEMATIQUES : EXEMPLE 2
le  5-02-2013 à 16:20 #
Evidemment , il faut d'abord s'imaginer cet univers, pour pouvoir intuiter.
Re: UTILES MATHEMATIQUES : EXEMPLE 2
le  5-02-2013 à 17:19 #
Il suffit d'imaginer que 20 km/h est la vitesse maxi qu'on ne peut dépasser et que plus on s'en rapproche plus les rues de la ville raccourcissent et plus la pendule de la gare ralentit (dixit G. Gamov).


Re: UTILES MATHEMATIQUES : EXEMPLE 2
le  5-02-2013 à 22:40 #

Le  5-02-2013 à 13:54, @zzeolo :
Peut-être que c'est ton intuition qui n'est pas bonne.

Le cycliste fait 2 fois le même parcours, la seconde fois il va 2 fois plus vite donc il met 2 fois moins de temps, donc il roulera 2 fois moins de temps à 20 km/h qu'a 10 km/h.
donc intuitivement la vitesse moyenne est la moyenne de (2 fois 10 km/h) et (1 fois 20 km/h).
10km/h + 10km/h + 20 km/h soit (40 km / 3 heure)


On me l'a déjà faite et je me suis dit après coup que l'exemple de prendre 10 et 20 n'était pas le plus approprié, car on peut s'en sortir par ce genre de pirouette. J'aurais pu prendre par ex 10 km/h et 16 km/h. Mea Culpa.

De toute manière, pour avoir testé cela sur pas mal de personnes, une seule s'en est sortie avec cette "bonne intuition".
Re: UTILES MATHEMATIQUES : EXEMPLE 2
le  6-02-2013 à 09:11 #
Salut Newtoon

Amusant, cet exemple, car je viens justement de m'en servir il y a peu, avec des élèves de TS, dans le cadre de la Relativité. Dans l'activité, on devait montrer, dans le cadre de la théorie de l'éther (je précise que c'était une activité historique destinée à montrer la fausseté de cette théorie, hein !), les élèves devaient montrer que si l'interféromètre se déplaçait dans l'éther (en suivant la Terre), il devait y avoir une différence de "temps de vol" pour les différents rayons lumineux (cf ce lien pour ceux qui ne voient pas ce que je veux dire).

Je pensais que ça ne poserait aucun problème (béotien que je suis !), mais la plupart des élèves étaient convaincus que ça ne changeait rien, car les photons vont plus vite à l'aller et moins vite au retour de la même quantité (ou l'inverse) et donc ça ne change rien, la vitesse moyenne est la même.

Même après démonstration mathématique, et petit exemple similaire au tien, certains n'étaient toujours pas convaincu, pensant plutôt qu'il y avait une faille dans le raisonnement mathématique. Même en leur montrant ceci, il y en avait encore pour penser que c'était peut-être l'animation qui était fausse.

Je leur ai alors sorti la phrase d'Einstein (ou plutôt attribuée plus ou moins justement à ce dernier) : "En Relativité, le "bon sens" est un bien mauvais guide". L'exemple du cycliste montre que ce n'est pas le cas qu'en Relat' !

Du coup, je leur ai posé une autre question, qui pourrait figurer dans tes exemples mathématiques "dérangeants" : on prend une ficelle de 40 000 km de long qui fait exactement le tour de la Terre, considérée comme sphérique. On découpe cette ficelle, et on rajoute un mètre de ficelle (1 m << 40 000 000 m, n'est-ce pas ?). On tend la ficelle uniformément : à quelle altitude du sol va-t-elle se trouver ? Mon "bon sens" me dit que comme 1 m est négligeable par rapport à la circonférence de la Terre, l'altitude sera elle aussi négligeable. Mais mon bon sens raconte aussi parfois beaucoup de khonneries... A-t-il raison en l’occurrence ?

@+
Re: UTILES MATHEMATIQUES : EXEMPLE 2
le  6-02-2013 à 19:56 #
Comme je l'ai déjà dit l'intuition est trompeuse :

Premier exemple :
Un nénuphar double de surface tous les jours.
Au bout de 6 mois il occupe la moitié d'un bassin.
Au bout de combien de temps couvrira-t-il la totalité du bassin .

Deuxième exemple :
Sachant que 1+2=3 conjecturer le résultat de l'addition 7+8 .


Re: UTILES MATHEMATIQUES : EXEMPLE 2
le  7-02-2013 à 11:24 #
Cet effectivement un bon et très classique exemple de "réponse tentante" qui fait intervenir le système 1 plutôt que le système 2. Cela a déjà été utilisé dans un jeu télévisé au passage !

Pour répondre à Kweeky, sa question m'a fait penser à une blague

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