Souhaitez-vous participer à la création d'un jeu vidéo inspiré de Stardew Valley, ou le tester lorsque la version bêta sera disponible ? Remplissez notre sondage ou inscrivez-vous à notre lettre d'information (en bas de page)
1

Maths: Fonction exponentielle : genèse (partie 1)

Fiche de newtoon. Maths.
Suite de l'introduction sur le sujet.

... Le mieux est de s'inspirer, comme l'ont fait les mathématiciens de l'époque, d'un cas très concret.

Il était une fois un investisseur (imaginaire) dont la passion profonde est de calculer les intérêts que peuvent lui fournir un placement de, dirons-nous, S0 € et avec un rendement de k %.

Sur un rendement annuel, la réponse est digne d'un élève de troisième :

S (année "1") = S0 + k * S0 = S0 * (1+k)

OK, mais quid si on a le droit de retirer la somme à n'importe quel mois de l'année, y-compris avec la fraction d'intérêt due pour les mois déjà passés ? (si c'est autorisé par la banque).

Pas difficile !

Exemple, au bout d'un mois seulement : « yaka » diviser l'intérêt lui-même par 12.

La formule devient : (0)

Oui, mais attention ! Au bout du deuxième mois, il ne faut SURTOUT pas croire que l'on va multiplier le résultat précédent par 2 ! Vous feriez un mauvais calcul dans les deux sens du terme (...financier, et en tant qu'investisseur et ça la fout mal...) : en effet, il ne faut pas oublier que les intérêts du deuxième mois s'appliquent à la nouvelle somme obtenue à la fin du premier mois  !!!

Donc, il faut écrire

On remplace avec (0) :

Une petite factorisation :

Raisonnement idem pour les mois suivants.

Généralisons au bout de m mois :

(1)

Bon, ça, c'était si on retirait l'argent au bout d'un certain nombre de mois m.

Imaginons que l'intérêt reste posé annuellement, et qu'on puisse retirer l'argent n'importe quel JOUR, avec la fraction d'intérêt due (ce que les banques actuelles ne font pas a priori), calculé jour après jour ?

C'est le même principe : il suffit de reprendre la formule précédente et de remplacer « 12 » par « 365 » (on ne tiendra pas compte des années bissextiles, faut pas chercher la petite bête... ).

Au bout de j jours on a :

(2)

Poussons le bouchon encore plus loin : Demandons à notre banque de le faire à la seconde près !

Combien d'argent pouvons-nous retirer au bout de s secondes (avec les intérêts qui se calculent chaque seconde) ?

Comme il y a 365 * 24 * 60 *60 = 31 536 000 secondes par an.

(3)

Comme les banques font des transactions à la vitesse de la lumière, on pourrait continuer avec des microsecondes, nanosecondes, etc.

Vous l'avez compris : soyons fou ! On va carrément tendre vers un temps proche de zéro, et donc l'infini au dénominateur !

Avant d'y aller, on va préparer le terrain et réaliser une petite astuce qui consiste à relier notre dénominateur à notre puissance.

En effet, vous avez vu qu'on est passé

de «12 » ↔ m
à « 365 » ↔ j
puis«  31536000 » ↔ s

Pourquoi pas : « ce que vous voulez » ↔ v ?

La suite au prochain numéro

Réutiliser cette fiche

Sur SLT vous pouvez insérer cette fiche dans un message en y collant le BBCode [fiche]97[/fiche]

Pour les autres sites:

HTML:
BBCode:
Wiki:
URL:




le 23-04-2013 à 16:42 #
Bonjour,

petits soucis de parenthèse systématique au lieu de

Petite mise en bouche plaisante par ailleurs
Re: Fonction exponentielle : genèse (partie 1)
le 23-04-2013 à 16:44 #

Le 23-04-2013 à 16:42, @Froidemort :
Bonjour,

petits soucis de parenthèse systématique au lieu de

Petite mise en bouche plaisante par ailleurs


OK, merci !
Re: Fonction exponentielle : genèse (partie 1)
le 23-04-2013 à 16:51 #
J'adore ta façon de présenter cette belle oeuvre mathématique qu'est la fonction exponentielle. Hâte de lire la suite !
Re: Fonction exponentielle : genèse (partie 1)
le 23-04-2013 à 17:47 #

Le 23-04-2013 à 16:51, @brainbow :
J'adore ta façon de présenter cette belle oeuvre mathématique qu'est la fonction exponentielle. Hâte de lire la suite !


Merci ! N'hésitez pas à critiquer et poser des questions (si je peux y répondre ). Mon but est d'être aussi clair que possible, à commencer pour moi-même (j'aime pas me relire un peu plus tard et me dire "Mais qu'est-ce que je voulais dire par là ???" !




Ces discussions pourraient vous intéresser également:


Fonction exponentielle : genèse (partie 2)
Fonction exponentielle : genèse (partie 3)
La fonction exponentielle, pas si exponentielle que ça ?
fonction exponentielle
Fonction exponentielle - L1