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Maths: Fonction exponentielle : genèse (partie 2)

Fiche de newtoon. Maths, 15-18 ans (2e, 1e, terminale / 4e secondaire à 5e/6e secondaire).
On rappelle au passage que tout ce que l'on a fait jusqu'à présent est équivalent à travailler de manière discrète grâce à une approche avec des suites géométriques !
En gros, si vous mettez les points d'une suite géométrique qui correspondent à vos intérêts composés par mois ou par jour par exemple, vous allez trouver la même chose.
Pour vous convaincre, reprenons le cas d'une décomposition en intérêts composés chaque jour, et passons à un exemple d'intérêt de 5 % par an pour une somme S0.
On obtient bien une suite géométrique du genre :

J0 (jour 0) : U0 = S0
J1 (jour 1) : U1 = S0 * (1 + 0,05/365) = S0 *(365,05/365)
J2 (jour 2) :

Jn (jour n) :

On aura l'occasion d'y revenir et avec un exemple comparatif.

Cela nous amène en tout cas à bien préciser l'objectif de la démarche. Vous voyez où on veut tranquillement en venir : à un extrême !

On vise à faire tendre notre période de temps d'intérêts ajoutés … à quelque chose d'infiniment petit.

On cherche ainsi à passer d'INTERETS COMPOSEES discrets (de type suite géométrique, on vient de le voir) au cas particulier d'intérêts carrément continus !
Bref, On veut des intérêts composés … « continûment ».

Revenons à notre calcul.

Notre puissance se trouve être une fraction du nombre total de , selon votre choix, mois 'm' / jour 'j' / secondes 's' /« ce que vous voulez » 'v'.

Imaginons donc le ratio du temps voulu pour la restitution du prêt par rapport à l'unité de temps choisi (sur un an).

Dans le cas des mois, ce serait : R1 = m/12 ou encore m = 12 * R1

Dans le cas des jours, ce serait : R2 = j / 365 ou encore j = 365 * R2

etc.

GENERALISONS !

Dans le cas de n'importe quel temps T, aussi grand soit-il par rapport à une année entière (rappel : on a l'intention d'aller vers les subdivisions de temps les plus courts, donc vers l'infini pour T, pour une année entière de subdivisions), prenons un certain nombre t de ces subdivisions pour prendre notre somme avec intérêts.

La formule est à la base :



Comme précédemment, posons le ratio R = t / T, ce qui est équivalent à t = R * T

On obtient :

Arrivé là, on fait encore une petite astuce de calcul fondées sur les propriétés des puissances, en y introduisant k (vous allez voir pourquoi cette ruse juste après) tel que :

(R * T) = (R * T) * 1 = (R * T) * k / k

On arrange un peu différemment et on a donc (R * T) = (T/k) * (R*k)

On obtient alors pour S :

ou encore

Pour alléger le tout et reconnaître des formes intéressantes, on pose enfin X = T/k.

S devient avec X :



Souvenons-nous à présent de ce que l'on souhaitait faire : faire tendre T vers l'infini.

Or, on avait posé X = T/k, donc cela revient à dire qu'on va faire tendre X vers l'infini.

Ce qui nous importe ici est tout ce qui comporte X, donc :

On fait tendre X-> infini pour le terme

Nous y voilà. Vous pouvez même prendre votre calculatrice et faire ce calcul pour des X très grands.

Je viens de le faire en deux secondes avec un tableur pour



Vous allez voir en prenant des nombres de plus en plus grands que tend vers une valeur finie qui vaut environ 2,718 et des poussières.

Drôle de limite !

Il s'agit d'un nombre irrationnel comme Pi. Ce nombre a été appelé « e » (équivalent à «  »). La petite histoire dit que ce e est le première lettre du mathématicien « Euler ». Ce nombre est devenu fondamental en mathématiques. On le retrouve un peu partout par la suite.

Bien ! on va maintenant appliquer cela à notre calcul d'intérêts bancaires dans la partie suivante.

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le 21-05-2013 à 15:25 #
Ptite faute de frappe :
U1 = S0 * (1 + 0,05/365) = S0 *(365,05)

U1 = S0 * (1 + 0,05/365) = S0 *(365,05/365)

(qui se remet partout à cause des Ctrl+C Ctrl+V )

Bonus : Comment on démontre que cette suite converge ? (on peut le faire avec des outils de terminale de mémoire)
Re: Fonction exponentielle : genèse (partie 2)
le 21-05-2013 à 15:35 #

Le 21-05-2013 à 15:25, @Froidemort :
Ptite faute de frappe :
U1 = S0 * (1 + 0,05/365) = S0 *(365,05)

U1 = S0 * (1 + 0,05/365) = S0 *(365,05/365)

(qui se remet partout à cause des Ctrl+C Ctrl+V )

Bonus : Comment on démontre que cette suite converge ? (on peut le faire avec des outils de terminale de mémoire)


Bourde de recopie de cet exemple mis au dernier moment ici effectivement. Merci ! Merci ! Marrant que je ne vois rien sur un écran.

Pour la convergence, on pourra tenter de le faire dans la partie suivante, tiens ! (je m'étais contenté de prendre une grande valeur pour simplifier) Je ne sais plus si c'est du niveau de terminale. Faut que je vérifie.

Bon, j'espère surtout être assez clair et instructif. Je ferai peut-être un "récap" en toute fin pour les "zappeurs" ou "hommes pressés".
Re: Fonction exponentielle : genèse (partie 2)
le 22-05-2013 à 18:26 #
Une autre approche :








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