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Maths: Fonction exponentielle : genèse (partie 3)

Fiche de newtoon. Maths, 15-18 ans (2e, 1e, terminale / 4e secondaire à 5e/6e secondaire).
Avec notre « e » en poche, la formule de S devient, pour X tendant vers l'infini (rappel : ce qui correspond à décomposer le temps à l'extrême : une infinité de subdivisions de l'année en intervalles de temps, eux, proches de zéro) :



Et voilà le travail !

A partir de là, on peut donc poser l'existence d'une fonction « Exponentielle », ou « Exp(x) » qui a pour valeur « e » en x = 1 et qui va fonctionner ainsi :



Dans le cas de notre somme d'intérêts, on a de même :


Maintenant vous avez peut-être compris pourquoi on écrit exponentielle comme une puissance et que les propriétés des puissances s'appliquent à elle !

Par exemple, vous connaissez tous cette règle sur les puissances :


Et bien, la fonction exponentielle est la seule qui fasse de même ET qui prend une valeur si particulière (e ~ 2,72) en x = 1.

Remarquez au passage la propriété qui va s'avérer fascinante : cette fonction TRANSFORME LES SOMMES EN PRODUITS.

Ca a l'air de rien, mais cela va ouvrir bien des possibilités et c'est la raison pour laquelle on va la retrouver un peu partout en tant que procédé mathématique commode.

Vous allez vous dire qu'il est un peu étrange qu'on ait créé une fonction pour de simples calculs bancaires.

On vient donc de montrer pourquoi exponentielle est définie aussi par :



La fonction exponentielle ne devrait donc intéresser que les banquiers et financiers ?

Avant de croire cela, réalisez que ce processus arrive souvent pour pas mal de phénomènes, en particulier dans la Nature.

Pensons à la croissance d'une plante, de la population ou de celles de bactéries. En quelque sorte, pour ces exemples, le cas discret est une sorte de « zoom » local. Si on « dézoome », on voit quelque chose de continu ! C'est un peu comme regarder une plage de sa hauteur d'homme ou de s'agenouiller et commencer à compter grain par grain...

Il suffit donc que tout bonnement quelque chose s'accroisse et que chaque accroissement arrivé à un instant t participe à l'accroissement qui va suivre à l'instant t+1.

Chaque « apport » à l'ensemble participe ainsi par la suite DE MANIÈRE CONTINUE à la croissance (ou à la décroissance), rien de très exceptionnel, bien au contraire !

RAPPEL : comme on l'a dit plus haut, le cas DISCRET de cette approche est la suite de type géométrique (suite géométrique) !

En gros, si vous mettez les points d'une suite géométrique correspondant à vos intérêts composés (non continus) et que vous tracez la courbe en reliant les points, cette courbe (allure dite justement « exponentielle ») correspond au résultat en exponentiel trouvé précédemment.

Faisons une comparaison entre une approche discrète et une approche continue et voyons que le résultat est très proche.

Supposons qu'au jour 0, on investit un centime d'euro à un taux annuel de 1 %. Voyons ce que cela donnera 1000 années plus tard.

Supposons d'abord que la banque autorise le cumul d'intérêts tous les jours.

Cela vous donne la formule suivante avec une suite géométrique telle que vous les utilisez en classe de première :

n = 365 * 1000 = 365 000 jours (on ne compte pas les années bissextiles) d'où U 365 000 = (365,01/365)^ 365000 = 220,23 euros

Maintenant, supposons que le processus est continu !

La formule a été donnée plus haut : S = S0 * exp (R*k) = 0,01 * exp (1000 * 0,01) = 0,01 * exp (10)

d'où S = 0,01 * 22 026 = 220,26 euros

Il est normal de retrouver quelque chose de très semblable étant donné le nombre de jours qui est très grand (365 000)

PS : pour parler un peu d'histoire, comme Wikipédia le mentionne d'ailleurs très bien, les intérêts financiers (surtout les composés !!!) étaient fortement condamnés tant par les Romains, que par les chrétiens ou les musulmans.

Faire de l'argent avec de l'argent était très mal vu d'un point de vue éthique. Ainsi, les chrétiens n'avaient pas le droit de faire de l'usure (prêt avec intérêt). En réalité, il leur arrivait de le faire en douce, surtout entre puissants. Par contre, au niveau de la rue, la pratique de l'usure était moins aisée (facile de se faire prendre la main dans le sac). Comme il y avait la diaspora juive et que ce problème ne se posait pas dans le cadre de leur religion, ce sont les juifs qui ont occupé le créneau. Les chrétiens avaient le droit d'emprunter par contre. Ils ne se sont donc pas gênés pour emprunter auprès des juifs. Or, vous imaginez bien, même un bon chrétien peut avoir des difficultés pour rendre la somme, voire ne pas le vouloir...
Il était facile de pointer ensuite du doigt le juif prêteur comme douteux, surtout afin d'éviter de le payer. D'où cette idée bien tenace par la suite du juif obsédé par l'argent !

Depuis, concernant l'usure, on sait que la pratique est revenue en force, à très grande échelle et pas seulement auprès des juifs...


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le  7-09-2013 à 19:26 #
on peut donc poser l'existence d'une fonction « Exponentielle », ou « Exp(x)

La fonction exponentielle est une fonction.
exp(x) ou n'est pas une fonction. C'est l'image par la fonction exponentielle d'un nombre réel x.
Re: Fonction exponentielle : genèse (partie 3)
le  7-09-2013 à 19:57 #

Le  7-09-2013 à 19:26, @Sunland :
on peut donc poser l'existence d'une fonction « Exponentielle », ou « Exp(x)

La fonction exponentielle est une fonction.
exp(x) ou n'est pas une fonction. C'est l'image par la fonction exponentielle d'un nombre réel x.


!!!!! ???????

Sources de cette affirmation SVP ?
Re: Fonction exponentielle : genèse (partie 3)
le  7-09-2013 à 21:45 #

Pour une fonction nommée f, on note f(x) l'image d'un réel x par f.
Il ne faut pas confondre les notations f et f(x)
f est une fonction
f(x) est un nombre
Re: Fonction exponentielle : genèse (partie 3)
le  8-09-2013 à 12:13 #

Le  7-09-2013 à 21:45, @Sunland :
Pour une fonction nommée f, on note f(x) l'image d'un réel x par f.
Il ne faut pas confondre les notations f et f(x)
f est une fonction
f(x) est un nombre


"Pas certain si rigoriste mathématique ou ergoteur"


Plus sérieusement, si sur le fond je suis OK avec ça (certes, pas faux), je ne vois pas bien comment parler d'une fonction sans exprimer sa relation avec x...

C'est donc intéressant à rappeler (que l'on obtient bien une image par une fonction), mais je ne vois pas bien comment modifier le topo fait plus haut pour autant (ou alors le texte risque de devenir indigeste).

Et surtout, je ne vois pas à quel moment cette distinction de principe va être important pour la compréhension des mathématiques. Je crois qu'à un moment, la rigueur mathématique doit avoir une limite (finie ) , sous peine que les élèves finissent justement par être persuadés pour de bon que les matheux sont une espèce infréquentable...
C'est tout le contraire de la philosophie de mes articles .

(Modifié par newtoon le 08-09-2013 à 12:27)

(Modifié par newtoon le 10-12-2013 à 21:02)




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