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Maths: Probabilités : Problème de Monty Hall (partie 2)

Fiche de newtoon. Maths, 15-18 ans (2e, 1e, terminale / 4e secondaire à 5e/6e secondaire).
(suite de la partie 1)

Reprenons, voulez vous!

SCENARIO 1 : le présentateur sait pertinemment où se trouve le lot et il y a 10 portes

On fait exprès d'augmenter le nombre de portes, pour que la solution paraisse plus évidente à vos yeux.

Voici les hypothèses de départ pour ce scénario du jeu.

1. Le lot a autant de chances de se retrouver derrière chacune des dix portes
2. Le présentateur connaît la réponse.

Imaginons donc un jeu télévisé où il y a 10 portes.

Derrière une seule de ces portes se cache le lot à gagner.

Voici l' hypothèse de départ pour ce jeu : le lot a autant de chances de se retrouver derrière chacune des portes

ETAPE 1 DU JEU : vous choisissez une porte

Disons que vous choisissez la première (votre choix est au hasard complet) : porte {1}

Vous êtes d'accord avec moi que la probabilité est plutôt faible (Bah ! 1 chance sur 10) que vous ayez trouvé la bonne en prenant la porte {1}, n'est-ce pas ?

Voilà l'astuce.

Groupons les autres portes non choisies comme un ensemble.

Il y a bien plus de chances (9 chances sur 10, dois-je le dire ?) que le lot se trouve dans ce dernier groupe {2,3,4,5,6,7,8,9,10} et pas derrière votre porte {1} ?

Et si le présentateur vous proposait de, soit garder la porte {1} choisie initialement, SOIT de prendre le groupe des 9 autres, é-vi-dem-ment, vous prenez le groupe {2,3,4,5,6,7,8,9,10}, car ce groupe a 9 chances sur 10 de gagner, non ?

Bon, maintenant que c'est bien intégré dans nos têtes, passons à l'étape 2

ETAPE 2 :

Là, imaginons que la règle du jeu impose que le présentateur, qui connaît la position du cadeau, doit ouvrir 8 portes du groupe {2,3,4,5,6,7,8,9,10} de son choix sur les 9 restantes.

Il choisit de toutes les ouvrir, sauf la {4} (par exemple).

Il reste donc 2 portes fermées : la porte {1} initiale et une des portes du groupe {2,3,4,5,6,7,8,9,10}, la porte {4}.

ETAPE 3

Le présentateur vous dit que vous avez le choix entre garder votre porte {1} OU changer pour prendre la porte {4}.

Gonflé, imaginons même que le présentateur vous affirme mordicus qu'à présent les chances sont de 1 sur 2 pour chacune des portes {1} et {4} restantes d'avoir le cadeau et que vous ne perdez rien à garder ou changer l'initiale, car c'est (selon lui) « Kif Kif ».

Par esprit diabolique, il vous offre même un petit cadeau pour vous inciter à garder votre porte {1} et ne pas prendre la {4}.

C'est du bluff de sa part, de « l'intox » pur jus !

N'acceptez pas son offre ! Vous seriez un "Sucker", comme dirait un Tex Avery !



Il faut impérativement changer de porte et prendre la porte {4}.

En effet, vous le sentez intuitivement grâce à notre approche de groupes.

Même s'il n'y a plus maintenant que 2 portes, elles n'ont pas du tout le même « poids » (pondération équivalente au départ).

C'est clair : la porte {1} a toujours une chance sur 10 de gagner comme au début MAIS les 9 chances sur 10 du groupe {2,3,4,5,6,7,8,9,10} que l'on avait vu se sont ENTIEREMENT reportées sur la porte {4} une fois que les autres ont été ouvertes par le présentateur.

Il faut bien noter au passage que le présentateur n'a rien apporté de neuf sur la probabilité globale concernant le GROUPE des 8 portes, car il savait dans ce scénario depuis le départ où se trouve le lot. Vous deviez les ouvrir de toute manière ces portes {2} à {9} s'il ne l'avait pas fait pour vous (il vous a juste épargné du taf) !

CONCLUSION : il fallait évidemment changer de choix à partir du moment où il vous demande si vous voulez le faire. En changeant de choix, le présentateur vous offre en réalité le groupe où il y a bien plus de probabilités de gagner.

ADDENDUM : le cas classique de 3 portes et pas 10.

Cette fois, il y a le groupe de votre porte (une chance sur 3) et un autre groupe de deux portes (2 chances sur 3). Lorsque le présentateur vous offre de changer, il vous donne tout simplement en réalité la possibilité d'avoir le groupe qui a 2 chances sur 3 de gagner (et on sait de plus à présent que derrière la porte ouverte par lui, le cadeau ne s'y trouve pas, mais cela nous fait une belle jambe).

Le souci est que cela rend plus tentant de penser qu'on a une chance sur deux de gagner dans tous les cas (notre cerveau a de mauvais réflexes).

Dans la suite, on donnera quelques compléments d'information.

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